Lineær differensialligning (løsninger og eksempler på løsninger) (2023)

Lineær ligning eller polynom, med ett eller flere ord, bestående av derivater av avhengig variabel i forhold til en eller flere uavhengige variabler, er kjent som en lineær differensialligning.

Den generelle første -ordens differensialligning gir følgende:

dy/dx + py = qHvor y er en funksjon og dy/dx er et derivat.

Løsningen av den lineære differensialligningen gir verdien av variabelen y.

Eksempler:

• dy/dx + 2y = grzech x
• dy/dx + y = mi^X

Definisjon av lineære differensialligninger

Den lineære differensialligningen er definert av den lineære polynomligningen, som består av derivater av flere variabler.Det blir også referert til som lineær delvis delvis ligning når funksjonen avhenger av variabler og derivatene er delvis.

Differensialligning med formen ovenfor er kjent somLineær første rad differensialligningDer P og Q bare er permanente eller funksjoner til en uavhengig variabel (i dette tilfellet X).

Også differensialligningen til karakterene,dy/dx + py = q, ErLineær første rad differensialligningHvor P og Q bare er permanente eller y -funksjoner (uavhengig variabel).

Å finneå løse lineære differensialligninger,Vi må utlede en generell form eller representasjon av løsningen.

Ikke -lineær differensialligning

Når ligningen ikke er lineær i en ukjent funksjon og dens derivater, sies det at det er en ikke -lineær differensialligning.Det gir en rekke løsninger som viser kaos.

Løsing av lineære lineære ligninger

For å finne en løsning på slike lineære differensialligninger, bestemmer vi funksjonen til en uavhengig variabel, sier M (x), som er kjent som en integrasjonsfaktor (I.F).

Multiplikasjon av begge sider av ligningen (1) av integrasjonsfaktoren M (x) får vi;

M (x) dy/dx + m (x) py = qm (x)… .. (2)

Nå valgte vi M (x) på en slik måte at L.H.S ligninger (2) blir et derivat Y.M (x)

TJ.d (ym (x))/dx = (m (x)) dy/dx + y (d (m (x))) dx ... (przy użyciu d (UV)/dx = v (du/dx) + u(DV/DX)

⇒M (x)/(dy/dx) + m (x) py = m (x) dy/dx + y d (m (x))/dx

⇒M (x) py = y dm (x)/dx

⇒1/m '(x) = p.dx

Ved integrering av begge sider i forhold til x, får vi;

\ (\ begynn {array} {l} log m (x) = \ int pdx (som \ int \ frac {f '(x)} {f (x)}) = log f (x) \ end {array}\)

\ (\ begynn {array} {l} m (x) = e^{\ int pdx} = i.f \ end {array} \)

Nå, ved å bruke denne verdien av integrasjonsfaktoren, kan vi finne en løsning på vår lineære førsteordens differensialligning.

Multipliser begge sider av ligningen (1) med i.f.Vi får

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} \ frac {dy} {dx} + ype^{\ int pdx} = qe^{\ int pdx} \ end {array} \)

Dette kan enkelt foreskrives som:

\ (\ begynn {Array} {l} \ frac {d (y.e^{\ int pdx})} {dx} = qe^{\ int pdx} (przy użyciu \ frac {d (UV)} {dx} =v \ frac {du} {dx} + u \ frac {dv} {dx}) \ end {array} \)

Mens vi krysser begge sider i forhold til X, får vi:

\ (\ begynn {array} {l} \ int d (y.e^{\ int pdx}) = \ int qe^{\ int pdx} dx + c \ end {array} \)

\ (\ begynn {array} {l} y = \ frac {1} {e^{\ int pdx}} (\ int qe^{\ int pdx} dx + c) \ end {array} \)

hvor C er noen permanent.

Hvordan løse den lineære første ordens differensialligning

Lær å løse den første ordensdifferensialligningen ved å bruke trinnene nedenfor.

1. Presentere betingelsene for ligningen gitt i formendy/dx + py = q

hvor P og Q bare er permanente eller funksjoner til den uavhengige variabelen x.

2. For å motta en integrasjonsfaktor, integrerer P (oppnådd i trinn 1) i forhold til X og sett inn dette integralet som kraft til E.

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} = i.f \ end {array} \)

3. Multipliser begge sider av den lineære førsteordens differensialligning med i.f.

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} \ frac {dy} {dx} + ype^{\ int pdx} = qe^{\ int pdx} \ end {array} \)

4. LHS -ligninger er alltid et derivat y × m (x)

TJ.LHS =d (y × i.f)/dx

d (y × i.f) dx = q × i.f

5. I det siste trinnet integrerer vi ganske enkelt begge sider med X og får et permanent uttrykk C for å få en løsning.

\ (\ begynn {array} {l} \ dlatego y \ ganger i.f = \ int q \ ganger i.f dx + c, \ end {array} \)

hvor C er noen permanent

Tilsvarende kan vi også løse en annen form for den første ordre lineære lineære ligningendx/dy + px = qbruker de samme trinnene.I denne formen er p og q y funksjoner. Den integrerte faktoren (i.f) viser seg å være og bruke den, finner vi ut hva løsningen vil være

\ (\ begynn {array} {l} (x) \ ganger (i.f) = \ int q \ ganger i.f dy + c \ end {array} \)

For å få et bedre innblikk i en lineær differensialligning, la oss prøve å løse noen få spørsmål.hvor C er noen permanent.

Løste eksempler

Eksempel 1: Løs LDE =dy/dx = [1/(1+x³) SZCS²/(1 + x²)] y

Løsning:

Ovennevnte ligning kan lagres somdy/dx + [3x²/(1 + x²)] y = 1/(1+x³)

Sammenligne det meddy/dx + py = o, Vi får

P =Zks²/1+x³

Q =1/1 + x³

La oss beregne integrasjonskoeffisienten (i.f.), som er:

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} \ end {array} \)

\ (\ begynn {Array} {l} i.f = e^{\ int \ frac {3x^2} {1 + x^3}} dx = e^{ln (1 + x^3)} \ slutt {Array} \)

⇒Jeżeli = 1 + x³

Nå kan vi også foreskrive LHS som:

d (y × i.f)/dx,

⇒d (y × (1 + x³)) dx = [1/(1 +x³)] × (1 + x³)

Ved å integrere begge sider av W. R. T. x, får vi,

⇒ Y ×(1 + x³) = x

⇒ y =x/(1 + x³)

⇒ y = [x/(1 + x³) + C

Eksempel 2:

Løs følgende differensialligning:

dy/dx + (sek x) y = 7

Løsning:

Sammenligner den gitte ligningen meddy/dx + py = q

Widzimy, p = s x, q = 7

La oss nå finne integrasjonsfaktoren ved å bruke formelen

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} = i.f \ end {array} \)

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ you secdx} = exel \ end {array} \)

\ (\ begynn {array} {l} jeżeli = e^{ln | sec x + tan x |} = sec x + tan x \ end {array} \)

Nå kan vi også omskrive LHS som

D (y × exel)/dx},

TJ.d (y × (s x + tg x))

⇒d (y × (SEK x + tan x))/dx = 7 (SEK x + tan x)

Integrering av begge sider av W. R. T. X, vi får,

\ (\ begynn {array} {l} \ int d (y × (sec x + tan x)) = \ int 7 (sec x + tan x) dx \ end {array} \)

\)

\ (\ begynn {Array} {l} y = \ frac {7 (ln | sec x + tan x | + log | sec x |} {(sec x + tan x)} + c \ end {array} \)

Eksempel 3:

Kurven går gjennom begynnelsen og skråningen til tangenten i punkt r (x, y), hvor -1X⁴+ 2xy + 1)/(1 - x²).Hva vil kurveligningen være?

Løsning:

Vi vet at vippen til tangenten i punktet (x, y) er:

Tanɵ =dy/dx = (x⁴+ 2xy + 1)/1 - x²

Omformulering av ligningen i formendy/dx + py = q, Vi får

dy/dx = 2xy/(1 - x²) + (x⁴+ 1)/(1 - x²)

⇒dy/dx - 2xy/(1 - x²) = (x⁴+ 1)/(1 - x²)

Sammenligning får vi p =-2x/(1 -x²)

Q = (X⁴+ 1)/(1 - x²)

La oss nå finne integrasjonsfaktoren ved å bruke formelen.

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int pdx} = i.f \ end {array} \)

\ (\ begynn {array} {l} e^{\ int \ frac {-2x} {1-x^2}} dx = e^{ln (1-x^2)} = 1-x^2 = Exel \ end {tabica} \)

Nå kan vi også omskrive LHS som

\ (\ begynn {array} {l} \ frac {d (y × i.f)} {dx}, \ end {array} \)

\ (\ begynn {Array} {l} tj. \ frac {d (y × (1 - x^2))} {dx} = \ frac {x^4 + 1} {1 - x^2} × 1- x^2 \ end {tablica} \)

Integrering av begge sider av W. R. T. X, vi får,

\ (\ begynn {Array} {l} \ int d (y × (1 - x^2)) = \ int \ frac {x^4 + 1} {1 - x^2} × (1 - x^2) dx \ end {tablica} \)

\ (\ begynn {Array} {l} \ pil til høyre y × (1 - x^2) = \ int x^4 + 1 dx ... (1) \ slutt {array} \)

x (1 - x²) = x⁵/5 + x + c

⇒ y = x⁵/5 + x/(1 – x²) + C

Dette er den nødvendige ligningen av kurven.Også når kurven går gjennom begynnelsen;Grunnleggende om verdier som x = 0, y = 0 i ligningen ovenfor.Så C = 0.

Derfor er kurveligningen:⇒ y = x⁵/5 + x/(1 - x²)